บทที่ 2
ในทางคณิตศาสตร์ ให้ความหมายคำว่า พีระมิด ดังนี้
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น เรียกว่า "พีระมิด"การเรียกชื่อพีระมิด นิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน ตัวอย่างเช่น พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดฐานหกเหลี่ยม เป็นต้น
พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง
พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐานเป็นระยะเท่ากัน มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่สันทุกสันยาวไม่เท่ากัน สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า "พีระมิดเอียง"
การหาความยาวด้านต่างๆ มักใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส
3.1) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดความยาวสัน
Ex.1 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นี้ว สันยาว 5 นิ้ว จงหาความสูงเอียงวิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน
กำหนดให้ AC เป็นสันยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 6 ÷ 2 = 3 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB2 + 32 = 52
AB2 = 52 – 32
AB2 = 16
AB = 4
ตอบ สูงเอียงยาว 4 นิ้ว
3.2) การหาความสูงเอียง กรณีที่โจทย์กำหนดส่วนสูง
Ex.2 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาความสูงเอียง
วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AB2 = 122 + 52
AB2 = 144 + 25
AB2 = 169
AB = 13
ตอบ สูงเอียงยาว 13 นิ้ว
3.3) การหาความสูง กรณีโจทย์กำหนดสูงเอียง
Ex.3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว สูงเอียงยาว 13 นิ้ว จงหาความสูง
วิธีทำ วาดรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาก่อน
ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง
BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC
พิจารณาสามเหลี่ยม ABC
AC2 + 52 = 132
AC2 = 169 – 25
AC2 = 144
AC = 12
AC2 = 169 – 25
AC2 = 144
AC = 12
ตอบ ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว
4. พื้นที่ผิวของพีระมิด
4.1) พื้นที่ผิวข้าง
เมื่อคลี่พีระมิดออกมา จะได้เป็นรูป
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด ได้แก่พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิด (ไม่รวมฐาน)หรือก็คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน นั่นเอง
จาก สูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = ½ × ฐาน × ความสูง
ดังนั้น สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง
* ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)
จะได้ว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
พิสูจน์
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = พื้นที่สามเหลี่ยมทุกรูปรวมกัน
= (พื้นที่สามเหลี่ยม 1 ด้าน) × จำนวนด้านของฐาน - จำนวนรูปสามเหลี่ยม จะเท่ากับจำนวนเหลี่ยมหรือด้านของฐาน
= (½ × ฐาน × สูงเอียง) × จำนวนด้านของฐาน
= ½ × [จำนวนด้านของฐาน x ฐาน] x สูงเอียง
= ½ × [ความยาวรอบฐาน] x สูงเอียง ซตพ.
4.2) พื้นที่ผิว
พื้นที่ผิวของพีระมิด คือ ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างทุกด้านของพีระมิด
ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน
สรุป
1) พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด
และพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด
2) สูตรการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด 1 ด้าน = ½ × ฐาน × สูงเอียง
3) ในกรณีที่เป็นพีระมิดตรง (ฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า)
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = ½ × ความยาวรอบฐาน × สูงเอียง
4) สูตรการหาพื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างทุกด้าน
5). ปริมาตรของพีระมิด
ปริมาตร คือ ปริมาณที่วัด เพื่อวัดบริเวณที่ว่าง (ความจุ) ภายในรูปทรงสามมิติ
การวัดปริมาตรของรูปทรงสามมิติใช้หน่วยวัดเป็นลูกบาศก์หน่วย
การหาปริมาตรของพีระมิด ให้ทดลองจากกล่องทรงปริซึม
จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง (จะได้เรียนในบทต่อไป)
เมื่อพีระมิดที่มีส่วนสูงและฐานเท่ากับปริซึม
เมื่อทำการตวง จะได้ 3 ปริมาตรพีระมิด เท่ากับ 1 ปริมาตรปริซึม
ดังนั้น สูตร ปริมาตรของพีระมิด = 1/3 × พื้นที่ฐาน × สูง
แบบทดสอบ
1.
พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดฐานห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ยาวด้านละ6เซนติเมตร สันของพีระมิดยาว 5 เซนติเมตร เท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร
1.
30ตารางเซนติเมตร
2.
40ตารางเซนติเมตร
3.
50ตารางเซนติเมตร
4.
60ตารางเซนติเมตร
2.
พีระมิดฐานnเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีความยาวรอบฐานเป็น 30 เมตร และมีพื้นที่ผิวด้านข้างเป็น 270 ตารางเมตร จงหาว่าความสูงเอียงของพีระมิดนี้ยาวกี่เมตร
1.
18 เมตร
2.
19 เมตร
3.
20 เมตร
4.
21 เมตร
3.
พีระมิดฐานห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว ถ้าพีระมิดนี้มีความสูงเอียง 4 นิ้ว จงหาว่าพีระมิดนี้มีพื้นที่ผิวด้านข้างกี่ตารางนิ้ว
1.
50 ตารางนิ้ว
2.
100 ตารางนิ้ว
3.
150 ตารางนิ้ว
4.
200 ตารางนิ้ว
4.
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตรัสที่มีด้านยาวของฐานด้านละ6เซนติเมตร และมีสันยาว5เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวทั้งหมดเท่าใด
1.
82 ตารางเซนติเมตร
2.
83 ตารางเซนติเมตร
3.
84 ตารางเซนติเมตร
4.
85 ตารางเซนติเมตร
5.
ทรงกลมตันลูกหนึ่งมีปริมาตรmลูกบาศก์นิ้ว และพื้นที่ผิว 6m ตารางนิ้ว จงหาว่าทรงกลมนี้สูงกี่นิ้ว
1.
1 นิ้ว
2.
2 นิ้ว
3.
3 นิ้ว
4.
4 นิ้ว
6.
พื้นที่ฐานของปริซึมหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าเป็น 56 ตารางเซนติเมตรมีปริมาตร 616 ลูกบาศก์เซนติเมตรปริซึมนี้สูงเท่าใด
1.
11 เซนติเมตร
2.
10 เซนติเมตร
3.
9 เซนติเมตร
4.
8 เซนติเมตร
7.
ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 2 เมตรยาว3.5 เมตรสูง 1 เมตรสามารถจุข้าวได้กี่ลิตร
1.
6,000 ลิตร
2.
6,500 ลิตร
3.
7,000 ลิตร
4.
7,500 ลิตร
8.
บ่อเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 1 เมตร ยาว 1.40เมตร สูง 0.80 เมตรถ้าจะปูกระเบื้องภายในบ่อนี้ด้วยกระเบื้องขนาด 14*16 ตารางเซนติเมตร จะต้อใช้กระเบื้องอย่างน้อยที่สุดกี่แผ่น
1.
136 แผ่น
2.
198 แผ่น
3.
234แผ่น
4.
298 แผ่น
9.
รถบรรทุกสามารถบรรทุกข้าวได้ 3.5 เกวียนถ้ารถมีกระบะยาว 3.5 เมตร กว้าง 2 เมตรจะบรรจุข้าวได้สูงกี่เมตร
1.
1.8 เมตร
2.
1.5 เมตร
3.
1.2 เมตร
4.
1 เมตร
10.
กล่องทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาวด้านละ 4 นิ้วจะมีพื้นที่ผิวเท่าใด
1.
16 ตารางนิ้ว
2.
25 ตารางนิ้ว
3.
36 ตารางนิ้ว
4.
96 ตารางนิ้ว
11.
แก้วแท่งหนึ่งหน้าตัดเป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ามีปริมาตร 585 ลูกบาศก์เซนติเมตร แท่งแก้ว ยาว 18 เซนติเมตร มีพื้นที่หน้าตัดเท่าใด
1.
28.5 ตารางเซนติเมตร
2.
30.5 ตารางเซนติเมตร
3.
32.5 ตารางเซนติเมตร
4.
34.5 ตารางเซนติเมตร
12.
กล่องนมสดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 7 เซนติเมตร สูง 20.4 เซนติเมตร กล่องนี้จุนมได้ประมาณกี่ลิตร
1.
0.9 ลิตร
2.
1.0 ลิตร
3.
1.2 ลิตร
4.
1.5 ลิตร
13.
ถังทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ 50 เซนติเมตรจะมีพื้นที่ผิวเป็นเท่าไร
1.
15,000 ตารางเซนติเมตร
2.
17,500 ตารางเซนติเมตร
3.
18,000 ตารางเซนติเมตร
4.
21,000 ตารางเซนติเมตร
14.
ปริซึมสิบเหลี่ยมด้านเท่ามีด้านยาวด้านละ 8 เซนติเมตร สูง 12 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวข้างเท่าไร
1.
480 ตารางเซนติเมตร
2.
768 ตารางเซนติเมตร
3.
960 ตารางเซนติเมตร
4.
980 ตารางเซนติเมตร
15.
สระน้ำทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากแห่งหนึ่ง กว้าง 12 เมตร ยาว 20 เมตร ถ้ามีน้ำอยู่ในสระ 1,920 ลูกบาศก์เมตร น้ำสูงจากก้นสระกี่เมตร
1.
14 เมตร
2.
12 เมตร
3.
10 เมตร
4.
8 เมตร
16.
กล่องใส่น้ำตาลทรายจุได้ 600 ลิตร ถ้ากล่องใบนี้สูง 1.50 เมตร จะมีพื้นที่ก้นกล่องกี่ตารางเซนติเมตร
1.
4,000 ตารางเซนติเมตร
2.
4,500 ตารางเซนติเมตร
3.
9,000 ตารางเซนติเมตร
4.
40,000 ตารางเซนติเมตร
17.
ถังน้ำทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีฐานกว้าง 18 เซนติเมตร ยาว 22 เซนติเมตร ถ้าใส่น้ำในถังสูง 11 เซนติเมตร ปริมาตรของน้ำในถังเป็นเท่าใด
1.
4,350 ลูกบาศก์เซนติเมตร
2.
4,356 ลูกบาศก์เซนติเมตร
3.
4,450 ลูกบาศก์เซนติเมตร
4.
4,456 ลูกบาศก์เซนติเมตร
18.
กล่องบรรจุน้ำผลไม้ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีความจุ 1 ลิตร ถ้ากล่องยาว 8 เซนติเมตร กว้าง 6.25 เซนติเมตร กล่องน้ำผลไม้นี้สูงเท่าใด
1.
20 เซนติเมตร
2.
16 เซนติเมตร
3.
14 เซนติเมตร
4.
12 เซนติเมตร
19.
ไม้ตันทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีปริมาตร 64 ลูกบาศก์นิ้ว จะมีพื้นที่ผิวเท่าใด
1.
64 ตารางนิ้ว
2.
80 ตารางนิ้ว
3.
96 ตารางนิ้ว
4.
144 ตารางนิ้ว
20.
ปริซึมสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีความยาวรอบฐาน 30 นิ้ว ถ้าปริซึมสูง 15 นิ้ว และมีพื้นที่ฐาน 41 ตารางนิ้ว ปริซึมนี้มีพื้นที่ผิวข้างและพื้นที่ผิวเท่าใด
1.
532 ตารางนิ้ว
2.
542 ตารางนิ้ว
3.
552 ตารางนิ้ว
4.
562 ตารางนิ้ว
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น